A Parábola de Segurança: Parábola de Segurança

A parábola de segurança (ps) é uma ferramenta poderosa e muito interessante que resolve, de forma simples e elegante, problemas de máximos e mínimos, envolvendo lançamentos de projéteis que, de outra forma, seriam solucionados com um enorme trabalho algébrico, regado a cálculo diferencial.

Considere um lançador de projéteis, localizado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas XY, disparando projéteis com velocidade inicial V_o constante, mas sob diferentes ângulos de disparo a com a horizontal, variando gradativamente no intervalo 0° < a < 180°. Para cada ângulo a, a trajetória seguida pelo projétil é uma parábola que parte da origem, atinge uma altura máxima e retorna ao solo horizontal (Figura 7).

Figura 7: Lançamentos com velocidade constante do ponto (0,0)

Efetuando-se uma sequência de disparos sob ângulos a progressivamente maiores, variando no intervalo 0º < a < 180º, obteremos uma família de trajetórias parabólicas que têm, em comum, a velocidade de disparo V_o , sendo, cada uma delas, descrita pela equação mostrada anteriormente:

Curiosamente, essa família de parábolas, que têm em comum a mesma velocidade de disparo V_o, tangencia uma parábola envolvente, que é única para cada valor de V_o, denominada “parábola de segurança” (Figura 8).

Figura 8: A parábola de segurança

A expressão “parábola de segurança” advém do fato de que ela define o lugar geométrico dos pontos do plano XY que jamais serão atingidos pelo lançador, ao efetuar disparos com aquela velocidade V_ocaracterística daquela PS. O conjunto de todos os pontos externos a essa parábola de segurança constituem a chamada “zona de segurança” dessa PS (Figura 9).

Figura 9: Zona de Segurança

Isolando a fórmula da trajetória do projétil em tg α, tem-se:

Esta fórmula determina o ângulo que o projétil a uma velocidade V, sujeito a uma aceleração da gravidade g, deve ser disparado para atingir o ponto (x,y).

· Caso 1 (Δ>0): Nesse caso, a equação fornecerá dois ângulos a distintos para os quais o ponto (x,y) será atingido pelo projétil. Graficamente, o ponto é interno à parábola de segurança.

· Caso 2 (Δ=0): Nesse caso, a equação fornecerá um único ângulo a de disparo sob o qual o ponto (x,y) será atingido pelo projétil. Graficamente, o ponto está sobre parábola de segurança, isto é, ele pertence à OS

· Caso 3(Δ<0): Aqui, a equação não possui solução. Em outras palavras, não existe ângulo a que faça a trajetória do projétil passar pelo ponto (x,y). O motivo é que a velocidade do lançador está pequena demais para atingir esse ponto. Para atingi-lo, será necessário aumentar a velocidade de disparo, isto é, trocar a PS original por uma nova PS mais abrangente que contenha esse ponto P. Graficamente, Δ < 0 significa que o ponto é externo à parábola de segurança, isto é, se encontra em sua zona de segurança.